Das Gesetz der kleinen Zahlen

Daniel Kahneman, ein gefeierter Psychologe und Nobelpreisträger, stellte ein faszinierendes Konzept vor: das „Gesetz der kleinen Zahlen“. Doch was genau ist das? Und warum sollte es uns interessieren?

Beginnen wir mit den Grundlagen, dem „Gesetz der großen Zahlen“. Stellen Sie sich einen riesigen Sack voller britischer Münzen verschiedener Stückelungen vor – 1, 2, 5 und 10 Pennys. Stellen Sie sich unzählige Menschen vor, die abwechselnd jeweils eine Münze ziehen. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich der durchschnittliche Betrag, den die Menschen im Laufe der Zeit einstecken, allmählich dem Mittelwert von 4.5 Pennys, dem Mittelwert aller Stückelungen, annähert.

Doch was ist mit dem Gesetz der kleinen Zahlen? Die Theorie würde gelten, wenn der Durchschnitt der ersten wenigen Münzziehungen 4.5 Pennys ergäbe. Das ist jedoch unwahrscheinlich. Die ersten Personen könnten alle eine 10-Penny-Münze ziehen. Daher scheitert das Gesetz der kleinen Zahlen im Gegensatz zu seinem großen Bruder.

Denken Sie daran: Diese Begriffe sind metaphorisch, nicht wörtlich gemeint. Sie gelten über Münzwurfszenarien hinaus. In der Forschung beispielsweise bilden kleinere Stichproben die Gesamtpopulation weniger genau ab. Größere Stichproben liefern dagegen ein repräsentativeres Bild. Wenn Sie aus einer winzigen Stichprobe vorschnelle Schlüsse ziehen, stimmen Sie im Grunde dem Gesetz der kleinen Zahlen zu – einem Trugschluss.

Veranschaulichen wir dies anhand eines Beispiels aus dem echten Leben. Nehmen wir an, eine Frau hat drei Männer gedatet, und alle erwiesen sich als unangenehm. Sie schließt daraus, dass alle Männer gleich sind – eine voreilige Verallgemeinerung. Sie glaubt, ihre kleine Stichprobe sei repräsentativ für alle Männer; ein klassisches Zeichen dafür, dem Gesetz der kleinen Zahlen zu vertrauen.

Diese Überzeugung hängt auch mit dem zusammen, was Kahneman als „Repräsentativitätsheuristik“ bezeichnete.

Denken Sie an Freud, der die Prinzipien der Psychoanalyse auf Grundlage von nur sieben Patienten formulierte. Oder betrachten Sie gängige Stereotype wie die Behauptung, dass alle BMW-Fahrer nie blinken, und viele andere dieser Art. All dies veranschaulicht den allgegenwärtigen Einfluss des Gesetzes der kleinen Zahlen.

Haben Sie sich schon einmal gefragt, wie e-commerce-Marketing damit zusammenhängt? Viele Unternehmer bewerten die Website-Performance typischerweise anhand eines kurzen Zeitraums von 1–2 Tagen.

Sehen Sie sich dieses Bild als Beispiel an:

Der durchschnittliche Werbeumsatz im Verhältnis zu den Werbeausgaben (ROAS) über einen Zeitraum von 30 Tagen beträgt 4.36. Wenn Sie ihn jedoch täglich betrachten, werden Sie konstante Schwankungen beim ROAS feststellen. Am Montag liegt er bei 5.94, am Dienstag fällt er auf 2.51, erholt sich aber am Mittwoch wieder. Deshalb ist es ziemlich sinnlos, Google- oder Facebook-Kampagnen sowie Google-Analytics-Berichte nur für einen Tag zu bewerten, es sei denn, an diesem Tag ist etwas sehr Spezifisches passiert.

Ein großartiges Beispiel aus dem Film „The State Counseller“ zeigt eine Figur, die nach nur drei Ziehungen eine gleichmäßige Abwechslung roter und schwarzer Spielkarten erwartet und damit das Gesetz der großen Zahlen veranschaulicht. Auch dies steht für den Glauben an das Gesetz der kleinen Zahlen und eine kognitive Verzerrung, die als „Spielerfehlschluss“ bekannt ist.

Das Gesetz der kleinen Zahlen ist auch in den Pseudowissenschaften allgegenwärtig, wo es zur Übergeneralisierung und falschen Darstellung von Menschen und Phänomenen verwendet wird.

Zusammengefasst ist unsere Tendenz, an das Gesetz der kleinen Zahlen zu glauben, eine verbreitete kognitive Verzerrung. In strenger wissenschaftlicher Forschung kann sie jedoch mit den richtigen statistischen Methoden und Stichprobengrößen widerlegt werden. Wenn Sie sich also das nächste Mal fragen, ob ein Ereignis wahrscheinlich oder zufällig ist, hinterfragen Sie Ihre Annahmen und prüfen Sie die Größe Ihrer Stichprobe. Lassen Sie sich nicht vom Gesetz der kleinen Zahlen täuschen.